Ecuación de la circunferencia
Demostración de la ecuación de la circunferencia (origen)
Ecuación de la circunferencia con centro (0, 0)
Para hallar la circunferencia con centro en el origen sera necesario conocer el radio de esta o un punto por donde pasa la circunferencia, cuando se conoce el radio sera más sencillo puesto que la ecuación tendrá como estructura 
, luego al hallar el radio unicamente conoceremos la ecuación terminada, cuando conocemos un punto de la circunferencia deberemos usar la ecuación de distancia y hallaremos el radio.
Circunferencia con centro en el origen (dado su radio)
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen cuyo radio es 7m.
Ecuación de circunferencia con C(0,0) y que pasa por P(4, 3)
Ejemplo:
Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro en el origen y un punto en (0, 3).
En este momento ya se conoce el radio que es igual a 3 ya que la distancia es igual al diametro (en el caso de este ejercicio).
Asi que ya se podra estructurar la ecuacion que quedara como:
Demostración de la ecuación de la circunferencia (no origen)
Obtener la Ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas
Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura
Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:
Método por desarrollo y método con las fórmulas conocidas.
Método por desarrollo
Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será
donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3) entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como
Nota: algunos usan otras letras, como Sigamos.
Tenemos nuestra ecuación ordinaria
y desarrollamos sus dos binomios:
Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:
que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2, ─3 y cuyo radio es 5.
Método con las fórmulas conocidas
Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas
Si
Si
Si
Recordemos que C (2, ─3) corresponde a C (a, b)
Entonces, hacemos:
F = 4 + 9 ─ 25 = ─12
Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos
obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del desarrollo.
Ecuación ordinaria de una circunferencia dado su centro y radio
Ecuación ordinaria de la circunferencia
Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h, k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2, 6) y con radio r = 4.
Centro y radio de una circunferencia (no origen) dada su ecuación
Ejemplo:
Dada la circunferencia de ecuación 
, hallar el centro y el radio.
Ecuación general de la circunferencia dado su centro y radio
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:
Prueba
Ejemplo:
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2, 6) y radio r = 4.
Observaciones:
Dada la ecuacion de la circunferencia se cumple que:
Ecuación de circunferencia, dado su centro y un punto de ella
Ejercicio:
Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (-2, 3).
Resolución:
Así la ecuación es:
Ecuación de circunferencia, dado su centro y una tangente
Ejercicio:
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0
Resolución:
El radio es la distancia del centro a una recta tangente:
La ecuación es:
